Bonjour Liam.

"...Grincement très faible à quasi inexistant" Ok, mais très faible. Il faudra peut-être remettre des vis. Si la jonction entre les planches au niveau des rainures/languettes est non jointive et dans le vide, il peut y avoir un couinement quand on marche dessus.
Sauf pour remettre de l'isolant sous le plancher s'il n'y en n'a pas, il vaut mieux éviter d'enlever le sol actuel en présence des cloisons, bien que ce soit faisable en s’arrêtant à la périphérie des cloisons (en visant bien le milieu des solives). C'est assez difficile, il faut une très bonne circulaire, une patience et une minutie infinies, et une motivation à toute épreuve.
On ne voit pas l'utilité de poser des lambourdes sur le sol actuel. Ce serait au détriment de la hauteur sous plafond de la mezzanine disponible.
Un parquet collé ou cloué de 23 mm représente un poids non négligeable que les solives actuelles doivent pouvoir supporter. Il semble que coller serait plus adapté. Mais 23 mm est peut-être trop luxueux et finalement inutile.
Parquet cloué (et dans l'agglo ou OSB, les clous rentrent mal) ou pseudo parquet clic posé flottant sur revêtement acoustique, il faut faire un choix. La seconde solution serait certainement moins chère et très satisfaisante, sachant que l'on trouve sur le marché des produits de qualité.
Mais on trouve également des produits chers, dont les lames sont incurvées quand on les sort de la boite. Et au montage, il peut y avoir des surprises. Voir sur le forum menuiserie :
Problème sol qui grince pas d'espace de dilatation
D'autres avis devraient vous être proposés, Marie n'est pas loin.